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En rhéologie, le module de relaxation permet de rendre compte de la relaxation de contrainte, la déformation étant maintenue constante.

• Introduction

• Annexe : grandeurs complexes

• Module complexe

• Viscosité complexe

• Voir aussi

• Articles connexes

La contrainte σ σ {\displaystyle \sigma } à un temps t {\displaystyle t} ne dépend pour un fluide newtonien que du taux de déformation à ce même temps :

σ σ ( t ) = η η γ γ ˙ ˙ ( t ) {\displaystyle \sigma (t)=\eta \ {\dot {\gamma }}(t)} .

Par contre, pour un fluide viscoélastique, cette même contrainte va dépendre de l'histoire des taux de déformation via le module de relaxation G ( t ) {\displaystyle G(t)} (ou E ( t ) {\displaystyle E(t)} ) :

σ σ ( t ) = ∫ ∫ − − ∞ ∞ t G ( t − − t ′ ) γ γ ˙ ˙ ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle \sigma (t)=\int _{-\infty }^{t}G(t-t'){\dot {\gamma }}(t')dt'} .

Physiquement, on s'attend à ce que cette fonction tende vers 0 lorsque t tend vers l'infini ; c'est la perte de mémoire des états les plus anciens.

Dans le cadre du modèle de Maxwell, on montre que le module de relaxation G ( t ) {\displaystyle G(t)} vaut :

G ( t ) = G 0 e − − t / τ τ {\displaystyle G(t)=G_{0}\ e^{-t/\tau }}

où τ τ = η η E {\displaystyle \tau ={\frac {\eta }{E}}} est le temps de relaxation du modèle de Maxwell.

Expérimentalement, on applique en DMA des déformations sinusoïdales. On définit une déformation complexe :

γ γ ( t ) = γ γ 0 e i ω ω t {\displaystyle \gamma (t)=\gamma _{0}\ e^{i\omega t}}

ce qui amène à une contrainte complexe :

σ σ ( t ) = i ω ω γ γ ( t ) ∫ ∫ 0 ∞ ∞ G ( x ) e x p ( − − i ω ω x ) d x = G ∗ ∗ ( t ) γ γ ( t ) {\displaystyle \sigma (t)=i\omega \gamma (t)\int _{0}^{\infty }G(x)exp(-i\omega x)dx=G^{*}(t)\gamma (t)}

avec :

x = t − − t ′ {\displaystyle x=t-t'} ;

G ∗ ∗ {\displaystyle G^{*}} , le module de cisaillement complexe. Celui-ci se décompose comme la somme d'une partie réelle et d'une partie imaginaire :

G ∗ ∗ ( ω ω ) = G ′ ( ω ω ) + i G ″ ( ω ω ) {\displaystyle G^{*}(\omega )=G'(\omega )+iG''(\omega )}

où :

G ′ {\displaystyle G'} est le module de conservation ;

G ″ {\displaystyle G''} est le module de perte.

Le facteur de perte indique la capacité d'une matière viscoélastique à dissiper de l'énergie mécanique en chaleur. Il est donné par l'équation :

tan ⁡ ⁡ δ δ = G ″ G ′ {\displaystyle \tan \delta ={\frac {G''}{G'}}}

où δ δ {\displaystyle \delta } est l'angle de phase ou de perte.

Une valeur faible du facteur de perte traduit un comportement élastique marqué : le matériau étant soumis à une sollicitation, la dissipation d'énergie par frottement interne est faible.

Il est par ailleurs possible de définir une viscosité complexe de la manière suivante :

σ σ = η η ∗ ∗ ( ω ω ) γ γ ˙ ˙ = ( η η ′ ( ω ω ) − − i η η ″ ( ω ω ) ) γ γ ˙ ˙ {\displaystyle \sigma =\eta ^{*}(\omega )\ {\dot {\gamma }}=(\eta '(\omega )-i\eta ''(\omega ))\ {\dot {\gamma }}}

avec :

η η ′ = G ″ ω ω {\displaystyle \eta '={\frac {G''}{\omega }}} , associée au module de perte,

η η ″ = G ′ ω ω {\displaystyle \eta ''={\frac {G'}{\omega }}} , associée au module de conservation.

• Module d'élasticité

• Viscoanalyseur

• Vieillissement des matériaux

• Fluage

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